「上海学能」2021美式奇趣数学夏令营（6天）

课程详情

谈到数学，很多人可能会联想到深奥莫测的理论和难以理解的公式，但实际上它其实蕴藏在我们生活中的每一个角落。我们不要一味的觉得学习数学是枯燥无味的，也许换种方式和心情就可以发现生活和游戏中无处不在的数学的乐趣和美妙。

不要以为折纸只是艺术手工的环节和消遣的乐趣，折纸里面其实也蕴含着很多数学的基本概念，甚至还有一个领域叫做“折纸数学”。美国教育中心发现通过折纸，动手去感知数学，受测试的孩子的数学成绩总体提升了15.4%。后来，折纸正式进入课堂，成为大名鼎鼎的“STEAM”课程的一部分。今天我们就来介绍，如何用折纸来锻炼数学尤其是几何方面的推理和想象能力。

免费试听：到场享三重福利

第一重福利：每个家庭赠送一本《数学之美》

第二重福利：现场抽奖，有机会获得迪士尼门票

第三重福利：现场报名，可享团购优惠，最高500元

时间：6月05日 10:00-11:00

年龄：适合9-12岁学生

★古老的折纸艺术

人类文明中最神奇的体验之一，就是那些古老的艺术在现代生活中重获新生，继续带给我们惊叹和启发，让我们思考体会自己和自然的关系。从开普勒定律到广义相对论，人类不断用更优美的数学结构来和自然对话，对事物的数学理解的加深，似乎也是整个文明进程的标志，艺术创造与数学也在经历同样的过程，帮助我们更感叹艺术的奇妙，同时创造更美妙的艺术。

布谷鸟钟 by Robert Lang

★折纸出现在什么时候呢？

折纸这门古老的艺术，几乎随着纸张的发明一起出现。折纸在古代的中国，韩国，日本，欧洲都是一种被大众喜爱的民间手工艺术技能。在中国的祭祀礼仪中，形象生动的折纸物品也扮演着重要的文化角色。1797年日本三重县桑名市长円寺的僧人义道一円出版的《秘传千羽鹤折形》被认为是世界上第一本折纸书，记载了当时所知道的大量折纸图案。

《秘传千羽鹤折形》

人们意识到折纸有其技术上的复杂性，乃至科学上的应用和研究价值，还是相当晚的事。二十世纪的日本折纸艺术家吉泽章被认为是现代折纸艺术的鼻祖。他一生发明出了超过五万种新的折纸图样，更重要的是，他建立了描述折纸技术的标准语言，至今仍旧为全世界所通用。在海外，他被广泛看作是日本的一名文化大使。1983年，日本天皇授予他旭日章，这是日本国民所能获得的最高荣誉勋章之一。

★当折纸遇上数学

到上世纪八十年代，人们开始注意到折纸可以作为一个数学问题被加以研究。归根结底，一个折纸作品一旦被展开，纸片上会有若干折痕，这些折痕满足某些特定的数学性质。反过来，给定一个人们心目中的折纸作品的模样，如何设计出相应的折痕，这在从前是一件完全依赖于折纸艺术家的经验技巧，而今天却可以通过特定的方式转化为一种可以被标准流程所回答的数学问题。上世纪九十年代，美国科学家罗伯特·朗写出了一个名为 treemaker 的电脑程序，人们可以输入任何自己心目中想要的形状，然后电脑会计算出为了折出该形状所需的折痕图样。从那一天起，折纸艺术彻底进入了自由王国。

Treemaker 5程序

★现代折纸艺术

现代折纸艺术除了在日本非常活跃，在美国，英国，法国，德国，比利时，阿根廷，新加坡也都有很多充满了创意的折纸艺术家们。这些人都有一个共同点，就是他们都是用过去50年的新的折纸数学的成果进行设计和创作。我们日常中最常见的折纸大概就是纸飞机吧，其实很多折纸艺术家，使用一张普通的正方形纸，就可以折出下面这些形态各异的折纸作品！

现代折纸设计：大象

现代折纸艺术作品

★折纸背后的数学公理

折纸数学背后，有着简单又优雅的一系列折纸公理。折纸公理，又称藤田-羽鳥公理或藤田-贾斯汀公理，是折纸数学的基本公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作。

折纸定理最早于1989年由雅克·贾斯汀(Jacques Justin)发现。截至目前为止，共推衍了6个公理。其中，公理1-6又于1991年由日裔意大利数学家藤田文章发现。前6个公理又叫做藤田公理，公理7由羽鳥公士郎发现，贾斯汀和罗伯特·朗(Robert J. Lang)也同样发现了公理7。罗伯特·朗证明了这七个公理已经是折纸几何的全部公理了。7条公理如下：

1、给定两点 p1 和 p2 ，有且仅有一条折痕同时过这两点。

2、给定两点 p1 和 p2，有且仅有一种方法把 p1 折到 p2 上。

3、给定两直线 l1 和 l2，可以把 l1 折到 l2 上。

4、给定一点 p 和一条直线 l，有且仅有一种方法过 p 折出 l 的垂线。

5、给定两点 p1 和 p2 和一条直线 l，可以沿过 p2 的直线将 p1 折到 l 上。

6、给定两点 p1 和 p2 和两直线 l1 和 l2，可以一次将 p1 、p2 分别折到 l1 、l2 上。

7、给定一点 p 和两直线 l1 和 l2，可以沿着 l2的垂线将 p 折到 l1 上。

公理5可能有最多2个解，公理6可能有最多3个解，而尺规作图的公理最多只有两个解。所以，折纸的作图能力要强于尺规作图。就是说，尺规作图相当于在解二次方程，而折纸几何相当于解三次方程。因而诸如三等分角、倍立方等尺规作图无法解决的问题却可以用折纸几何解决。但是公理6在实践中需要将纸“滑动”，这其实相当于二刻尺作图，这在标准的尺规作图中是不被允许的。

放心吧，面对3-6年级的孩子的时候，我们不会用这些定理公理来吓唬他们的，但是我们要给孩子们打开一扇窗户，让他们一窥数学王国有无限精彩，未来等待他们去探索。

★如何把地图折得更小？

纵观折纸的历史，五彩缤纷的折纸作品(比如常见的天鹅)都没有局限于单方向折叠。最为平庸的折纸算是袖珍地图了。如果读者买过袖珍交通图的话，那么一定会发现它至少在横向和纵向两个方向上折叠。那么问题出来了：有没有更好的方法把地图折叠得更小更紧凑？

图 6. 三浦折叠的折痕(来源：维基百科)

事实上，这样的方法确实存在，其中之一就是三浦折叠(Miura fold)。三浦公亮 (Koryo Miura, 1930-)是日本东京大学天体物理学家。他平时的研究涉及到将大的平板(如天线和太阳能板)进行最有效的装箱问题。通常的做法是像地图那样横竖折叠。他注意到这种方法有3个缺点：第一，一个正交折叠地图需要一系列过度复杂的动作来折叠和展开；第二，一旦展开后折痕很有可能不稳定；第三，直角折叠在两个相交的折痕处容易出现撕裂。

所以三浦公亮决心自己发明出一个更好的方法——即日本的传统折纸术。其中最常见的是，使用一种变型的手风琴折叠，以产生由一系列全等平行四边形组成的略微呈脊状的表面。

他从几何形状和弹性方面研究发现，这种手风琴式的折叠与传统的正交折叠的最大区别在于其折叠的相互依赖性。因此，沿着一条折痕的拉动也同时产生了沿其他折痕的运动。换句话说，用户可以只需拉动一个角，就可以打开整个结构。

如图6，他把两个相互正交的折痕(即90度)改为一个84度和一个96度折痕的平行四边形，每行换一个方向。这个方法除了可以节省空间外，还可避免在折叠和展开的过程中造成损耗。研究发现这个方法可使物件的体积减少25倍，并使能量密度加强14倍，不仅可以用在地图上，还可用于人造卫星的太阳能板收放等方面，因而2006年被日本经济产业省评为百大日本发明之一。

三浦折叠(来源：维基百科)

在2004年日本宇宙科学研究所在发射太阳能飞船时意识到，为外太空航行提供能源所需的太阳能板需要尽可能大的展开面积，而这些太阳能板又必须能够被折叠到尽可能小的状态才能在发射过程中装进狭小的飞船船舱，并且这一折叠和展开的过程都必须尽可能简单，才能在无人环境中顺利完成，这正是折纸技术所研究的问题。三浦公亮发明的折纸方法，提供了一个完美的解决方案。除此之外还被广泛地应用于各种生产领域，甚至包括轮胎的胎纹设计。

★折纸折出太空望远镜？

自从1990年哈勃望远镜由发现号航天飞机送入轨道以来，太空科学家一直致力于开发它最终的下一代替代品。罗德里克·海德(Roderick Hyde)提出了建造比哈勃望远镜大四十倍的望远镜的想法。哈勃望远镜本身就不小，长13米，孔径2.4米。海德提议的望远镜的光圈将近100米，长数百米。这立即带来了一个后续问题：即使可以设计出这么大的东西，如何能进入轨道呢？

当研究人员意识到有可能制造出一个可折叠的透镜并装进航天飞机时，答案就呼之欲出了。我们可以通过将两个透镜置于轨道中，来使望远镜的两端之间保持适当的距离。而在这个位置因为失重的缘故，这两个透镜可以停留在轨道上。实验室立即看到了这与折纸之间的关联，立刻联系了罗伯特·朗，想征求专家意见。

在接下来的一年里，在朗的帮助下，实验室团队建造了一个直径为5米的名为“眼镜”的原型。哈勃望远镜的下一代，于2013年发射的詹姆斯·韦伯太空望远镜上确实有一面镜子，可以像折纸一样折叠后放入火箭中。

这件事情听起来像是科学家们完全心血来潮的业余爱好。可是大多数科学技术领域的发展所体现出的一条必然规律在这里也发生了作用：一种纯粹基于兴趣的，看起来毫无实际用途的研究，最终会以出乎人们意料的方式在现实生活中产生应用。

★人造血管支架

折纸技术还被用于设计人造血管支架，因为这一支架需要被折叠地足够小才能被放入血管，在到达指定位置后再被展开成一段人造血管，这一设计是由牛津大学的中国科学家由衷研究员所在的研究小组发明的。

在这个领域里事实上还存在着大量未能解决的问题，它甚至构成了数学中一个特别的分支：折纸数学。所有从事这一领域的科学家几乎一开始都只是被折纸过程所蕴含的简单而纯粹的美所吸引，但是事实上，他们的工作开启了一个科学和工程学的宝库。

在我们即将到来的奇趣数学营的折纸中的数学模块中，我们将和孩子们一起探索折纸后面的奇妙的数学。

a.用方形纸折等腰三角形

b.N均分的近似折法

c.N均分的精准折法

d.折纸可以三分角么？

e.Lill方法(解多项式方程)

f.用纸条进行打结

g.Haga的“折纸学”

h.折蝴蝶炸弹

i.折六面体和体积计算

j.把名片当作积木用

k.折五个交叉的四面体

l.折巴基球

m.折环面

n.折海绵体

o.折天鹅与染色问题

我们还将探索一些非常规趣味折纸，比如双色纸折纸创作，折纸与剪刀结合的创作等。同时将引入跨学科内容：用折纸接释生物学里的蛋白质折叠。在文章里说明的这些是我们可能讲到的内容，但不是所有内容哦，根据需要还会添加一些惊喜的趣味折纸内容。

折纸和剪刀创作的天鹅，蝴蝶，天使鱼

折纸和剪刀创作的天鹅，蝴蝶，天使鱼

今天我们介绍的是奇趣数学营的第一天的课程话题——折纸中的数学。下次我们再继续介绍其他的数学营的内容。这里学到的数学，是学校的课堂里，和课外的辅导班，竞赛班里没有机会去体验的数学，是真正的快乐数学，是有含金量的素质教育的数学！

美式奇趣数学营

点路和游美的学术团队，经过两年研发打磨出了能让孩子们爱上数学的夏令营。营地活动设置传承美国莱尼克斯高端传统营活动项目设置，并引入百引进美国莱尼克斯高端传统营活动项目设置，根据不同年龄阶段及孩子们不同个性特点和需求，开发和完善出一套完整的美式活动教育体系。

美式奇趣数学营旨在展示大自然，人类文化艺术成果，以及生活和游戏中无处不在的数学的乐趣和美妙，适合3-6年级孩子，根据他们的认知特点和喜好定制，一切设计都为了让孩子们拓宽数学兴趣。地点在上海宏润博源国际学校，每天上午参加数学工坊，下午安排户外活动，在保持美国营地原汁原味的同时也注重加入中国文化元素，更适合中国孩子。

开营日当天，我们会安排营地工作人员组织营员签到、集合，热情迎接每一位来到营地的营员。

通过破冰活动戏可以帮助刚刚来到营地的营员拉近彼此之间距离，提升社交力，孩子的社交发展能力是成长中较为关键的一步。

美式特色营地活动

美式奇趣数学营活动在美式夏令营内设40+各类活动和游戏中为营员们挑选出当地适宜的活动安排在每一个夏令营日，并与数学课程结合，在保持美国营地原汁原味的同时也注重加入中国文化元素，更适合中国孩子。

面具彩绘

争分夺秒

夺旗

降旗&提名

飞盘

史莱姆

阿帕奇接力赛

荧光派对

正装红毯秀

导师团队

▼数学工坊主要任课老师：

Wei老师 教学经验1500+小时

中国科技大学物理本科。多次获省市级数学竞赛第一名，东三省数学邀请赛第一名，华杯赛全国决赛11名，省物理竞赛一等奖

十多年海外生活，海量词汇，标准美式英语发音，可全英语教学。八年编程和AI工作经验

喜欢阅读各种英文原版书籍，生活中也以解数学题，设计算法，计算量子场的物理性质做为乐趣

擅长教授趣味数学和各种数学、物理和信息科学类国际竞赛

▼资深外教领衔

严格筛选具有专业学术背景、执教于营地的老师组成课程团队，1：4的师生配比融入营地，经过营地的层层选拔，提供高水准的导师培训和实践锻炼。完备的导师培训系统，只为给每一位孩子高品质的导师陪伴，激发学生的探索欲与表达力，从而展现最具魅力的一面。

行程安排

费用说明

原价：￥9899/人

优惠价：￥8999/人

团报更优惠

2人团报：￥8799/人

3人团报：￥8699/人

4人团报：￥8599/人

5人及以上团报：￥8499/人

价格包含

1、活动费：营会期间所有标准活动费用；

2、住宿费：营会期间住宿费用；

3、餐饮费：营地提供早、中、晚一日三餐；

4、保险费：保额为20万元意外伤害保险；

5、营服、营员手册以及营内所有必须日常的费用；

6、营地所在城市指定集合地点往返大巴。

价格不含

1、外地抵达当地城市的大交通费、单独接送站的费用。

2、任何个人消费。

招募信息

招生范围：三年级-六年级

第一期：2021.07.18-07.23

第二期：2021.08.01-08.06

第三期：2021.08.08-08.13

参营地址：上海市徐汇区虹桥路355号城开国际大厦4楼

住宿安排：四人间

导师比例：1：4

安全保障

☑ 如发生以上情况，游美营地将会根据医疗等级分类及时与家长沟通，并采取相应的措施;

☑ 如遇到不可抗拒力因素，如台风、连续降雨、大雪等，游美将会根据相应的预案，第一时间积极响应、处理。

报名须知

Q营期中是否可以使用手机、平板、电话手表等电子产品进行通话或视频？

A: 我们希望在营地打造“无电子产品”的环境，给孩子们提供机会，享受面对面交流的乐趣。因此，营地期间，所有电子设备都需交由导师代为保管(包括电话手表)，离营时充电并返还孩子，可以在往返路上联系使用。

Q营地是否有洗衣机供孩子使用？

A: 营地中暂未配备洗衣机。孩子如有洗衣服的意愿，导师可引导孩子清洗小件衣物。

建议家长按每天孩子所穿衣物进行分装，便于孩子穿搭及收纳。

Q营地导师是否可帮助扎/吹长头发？

A: 营房均有同性别导师陪同住宿，导师会协助孩子扎/吹长头发。

Q中午是否安排午休环节？

A: 营地活动课程丰富，为保证孩子充沛体力进行下午活动，中午会集体进行休息。若孩子无午休习惯，可在营房阅读自带书籍。

Q是否可以开发票？

A: 如需开具营期费用发票，需在结营后一个月内，在小程序【我的订单】中进行申请，内容是【生活服务-营地服务费】，申请后请告知您的报名老师，审核通过后将会发送至您提供的电子邮箱中。

Q营员物品是否可以邮寄至营地？

A: 营期中可接收快递，如需邮寄，请根据您居住的地区和快递时效性合理安排邮寄时间，营地接收信息开营前给您分享。